邻域公理内容
给定集合X，映射U：X→P(P(X))（其中P(P(X))是X的幂集的幂集），U将X中的点x映射到X的子集族U(x)），称U(x)是X的邻域系以及U(x)中的元素（即X的子集）为点x的邻域，当且仅当U满足以下的邻域公理：
U1：若集合A∈U(x)，则x∈A。
U2：若集合A,B∈U(x)，则A∩B∈U(x)。
U3：若集合A∈U(x)，且A⊆B⊆ X，则B∈U(x)。
U4：若集合A∈U(x)，则存在集合B∈U(x)，使B⊆A，且∀y∈B，B∈U(y)。
含义
邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套邻域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。
U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。
U2：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。
U3：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。
U4：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。更关键的，这样的邻域当且仅当它是X中的开集，这也是邻域公理为何等价于开集公理，从而可以通过它定义X上拓扑的原因。
客服1